- (определение ) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями .

Примеры многогранников:

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным , если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр , икосаэдр .

Многогранник в трехмерном пространстве (понятие многогранника) - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны ребрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Вершины многогранника

Ребра многогранника

Грани многогранника

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом . Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Часть геометрии, которую мы изучали до сих пор, называется планиметрией - эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией .

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками .

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями . При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

Стороны граней называются рёбрами , а концы рёбер - вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми .

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник - октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани - правильные треугольники.

На рисунке - невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть - по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямую называют перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Призма

Теперь можем ввести определение призмы.

\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.

Стороны многоугольников называют рёбрами оснований .

Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.

Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

Призмы бывают прямыми и наклонными .

Если основания прямой призмы - правильные многоугольники, то такую призму называют правильной .

У прямых призм все боковые грани - прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

На рисунке - наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B 1 E .

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке - прямая треугольная призма. Все боковые грани - прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

На рисунке - правильная четырёхугольная призма. Основания призмы - квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой - параллелограммы, называется параллелепипедом .

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом .

Если основания прямого параллелепипеда - прямоугольники, то этот параллелепипед - прямоугольный .

На рисунке - прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, AB , AD и A A 1 можно называть измерениями.

Так как треугольники ABC и AC C 1 - прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2 .

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

На рисунке - правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность S бок. = P осн. ⋅ H , где \(H\) - высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

2. Полная поверхность S полн. = 2 ⋅ S осн. + S бок. . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

3. Объём V = S осн. ⋅ H . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

Пирамида

\(n\)-угольная пирамида - многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.

Треугольники - боковые грани пирамиды.

Общая вершина треугольников - вершина пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины - боковые рёбра пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это - очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников - бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. - указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра - правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра - правильные пятиугольники.

Многогранник называется выпуклым , если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части -- внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник -- выпуклый.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало», - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной вершине.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Обычно модели многогранников конструируют из разверток. Но есть и другой способ.

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 1 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Рис. 1

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 2). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата.

Рис. 2

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Рис.3

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 3 и рис. 4). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра - из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Рис.4

Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (см. рис. 5). Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Рис. 5

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр - и целое семейство однородных многогранников (см. рис. 6). В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера "О шестиугольных снежинках" есть очень меткое замечание: "Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой..." Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.

Рис.6

многогранник тетраэдр куб октаэдр додекаэдр икосаэдр

Построение простых многогранников не представляет особых затруднений. Но чтобы сложить из ленты сложные звездчатые формы, понадобятся специальные приспособления для удержания еще не соединенных между собой колец - скрепки, зажимы и тому подобное. Создание оригинальных по своей форме многогранников чрезвычайно занимательно самим процессом формообразования.

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Грани – равносторонние треугольники. В каждой его вершине сходится три угла. Сумма этих углов при каждой вершине равна 180º.



Октаэдр

В переводе с греческого οκτάεδρον (οκτώ - «восемь » и έδρα - «основание ») - многогранник с восемью гранями. Грани правильного октаэдра - . Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, поэтому сумма углов при каждой вершине октаэдра составляет 240°.

Куб в переводе с древне-греческого κύβος2 или правильный гексаэдр («правильный шестигранник » от древнегреческого ἑξάς- «шесть » и ἕδρα - «седалище, основание ») - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой.

Число сторон у грани – 4; общее число граней – 6; число рёбер примыкающих к вершине – 3; общее число вершин – 8; общее число рёбер – 12. Сумма углов при каждой вершине 90º + 90º + 90º = 270º

Додекаэдр от древнегреческого δώδεκα - «двенадцать » и εδρον - «грань ». Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма углов при каждой вершине 108º + 108º + 108º = 324º

Икосаэдр от древнегреческого εἴκοσι «двадцать »; ἕδρον «сидение », «основание »- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Леонардом Эйлером в 1750 году была впервые выведена формула связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.

Таблица 1

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников.

Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал книгу монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции ».

Другим знаменитым художником, также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия » он дал перспективное изображение додекаэдра.

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей работе, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры планет Солнечной системы. Такая модель получила модель «Космического кубка » Кеплера.

Знаменитая картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря » содержит перспективное изображение правильного додекаэдра.

Напомним определения многогранника и некоторых его видов.

Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого со­стоит из конечного числа многоугольников. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его много­угольников. Многоугольник на поверхности многогранника называ­ется его гранью. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней - вершинами многогранника.

Простейшие многогранники - это призма и пирамида. Призмой на­зывается многогранник, у которого две грани, называемые основа­ниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две сто­роны являются соответственными сторонами оснований.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикуляр­ны основанию.

Прямая призма называется правильной, если ее основанием являет­ся правильный многоугольник.

Призма, у которой основание - параллелограмм, называется па­раллелепипедом.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани -прямоугольники.

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого - квадраты.

Изобразим, например, наклонную призму, основанием которой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования оно изобразится

произвольным параллелограммом АВСD (рис. а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные прямые, проходя­щие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ", СС", ВВ"", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырех­угольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Не­трудно доказать, что А"В"С"D" - параллелограмм, равный параллело­грамму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, ос­нованиями которой являются равные квадраты, а остальные грани -параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой яв­ляются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпен­дикулярны основанию, можно так, как это сделано на рисунке б.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) - какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) - треугольники с общей вершиной.

Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.

Простейшей пирамидой является треугольная пирамида - тетра­эдр. У нее наименьшее возможное число граней - всего четыре. Любая ее грань может считаться основанием, что и отличает тетраэдр от других пирамид.

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник и высота проходит через центр этого многоугольника.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правиль­ный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок ОS, изображающий высоту пи­рамиды. Заметим, что вертикальность отрезка ОS обеспечивает боль­шую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вер­шинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием которой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллель­ном проектировании правильный шести­угольник, надо обратить внимание на сле­дующее. Пусть АВСDЕF - правильный шес­тиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис.) и, значит, при параллельном про­ектировании он изобразится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диаго­наль АD проходит через точку O - центр мно­гоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам ВС и ЕF и АО = ОD, то при параллельном проектировании она изобра­зится произвольным отрезом А"D", проходящим через точку О" парал­лельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = 0"D".

Таким образом, последовательность построения основания шести­угольной пирамиды такова (рис.):

Изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения О";

- через точку О" проводят прямую, па­раллельную В"С" (или Е"F");

- на построенной прямой выбирают про­извольную точку А" и отмечают точку D" такую, что 0"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F" , а точку D" с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикальный отрезок OS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку Sсо всеми вершинами основания.

Завершая рассмотрение многогранников, отметим еще их одно ин­тересное свойство, установленное Л. Эйлером.

Теорема Эйлера. Пусть дан выпуклый многогранник и В - число его вершин, Р - число ребер, Г - число граней. Тогда В + Г - Р== 2 для любого выпук­лого многогранника. Например, правильная шестиугольная пира­мида имеет 7 вершин (В = 7), 12 ребер (Р = 12) и 7 граней (Г = 7). Тог­да В + Г - Р= 7 - 12 + 7 = 2. На основании теоремы Эйлера можно заключить, что существует пять и только пять видов правильных многогранников, т.е. таких выпуклых многогранников, у которых все грани - равные друг другу правильные многоугольники и в каж­дой его вершине сходится одно и то же число ребер. Это - тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (рис.).